{l}{2x-y/5=3}{x+y/3=3} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y } { 5 } = 3 } \\ { \frac { x + y } { 3 } = 3 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=8$$

$$y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુનો 5 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$2x-y=3\times 5$$

15 મેળવવા માટે 3 સાથે 5 નો ગુણાકાર કરો.

$$2x-y=15$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુનો 3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x+y=3\times 3$$

9 મેળવવા માટે 3 સાથે 3 નો ગુણાકાર કરો.

$$x+y=9$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-y=15,x+y=9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-y=15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$2x=y+15$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+15\right)$$

y+15 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, x+y=9 માં x માટે \frac{15+y}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}+y=9$$

y માં \frac{y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{15}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{3}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=1$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1+15}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{1}{2} માં \frac{15}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=8$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=8,y=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુનો 5 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$2x-y=3\times 5$$

15 મેળવવા માટે 3 સાથે 5 નો ગુણાકાર કરો.

$$2x-y=15$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુનો 3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x+y=3\times 3$$

9 મેળવવા માટે 3 સાથે 3 નો ગુણાકાર કરો.

$$x+y=9$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-y=15,x+y=9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{1}{3}\times 15+\frac{2}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=8,y=1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુનો 5 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$2x-y=3\times 5$$

15 મેળવવા માટે 3 સાથે 5 નો ગુણાકાર કરો.

$$2x-y=15$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુનો 3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x+y=3\times 3$$

9 મેળવવા માટે 3 સાથે 3 નો ગુણાકાર કરો.

$$x+y=9$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-y=15,x+y=9$$

2x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x-y=15,2x+2y=2\times 9$$

સરળ બનાવો.

$$2x-y=15,2x+2y=18$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2x-y=15માંથી 2x+2y=18 ને ઘટાડો.

$$2x-2x-y-2y=15-18$$

-2x માં 2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2x અને -2x ને વિભાજિત કરો.

$$-y-2y=15-18$$

-2y માં -y ઍડ કરો.

$$-3y=15-18$$

-18 માં 15 ઍડ કરો.

$$-3y=-3$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

x+y=9માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+1=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$x=8$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=8,y=1$$