{l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 મેળવવા માટે -5 માંથી 4 ને ઘટાડો.

$$2x-9+3y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 9 ઍડ કરો.

$$2x+3y=-1+9$$

8મેળવવા માટે -1 અને 9 ને ઍડ કરો.

$$2x+3y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+3y=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-3y+8$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

-3y+8 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

અન્ય સમીકરણ, -x+y=5 માં x માટે -\frac{3y}{2}+4 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

-\frac{3y}{2}+4 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

y માં \frac{3y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4 ઍડ કરો.

$$\frac{5}{2}y=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{5}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{18}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+4માં y માટે \frac{18}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{3}{2} નો \frac{18}{5} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

-\frac{27}{5} માં 4 ઍડ કરો.

$$x=-\frac{7}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 મેળવવા માટે -5 માંથી 4 ને ઘટાડો.

$$2x-9+3y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 9 ઍડ કરો.

$$2x+3y=-1+9$$

8મેળવવા માટે -1 અને 9 ને ઍડ કરો.

$$2x+3y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=5$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 મેળવવા માટે -5 માંથી 4 ને ઘટાડો.

$$2x-9+3y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 9 ઍડ કરો.

$$2x+3y=-1+9$$

8મેળવવા માટે -1 અને 9 ને ઍડ કરો.

$$2x+3y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=5$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

2x અને -x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

સરળ બનાવો.

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -2x-3y=-8માંથી -2x+2y=10 ને ઘટાડો.

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

2x માં -2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -2x અને 2x ને વિભાજિત કરો.

$$-3y-2y=-8-10$$

-2y માં -3y ઍડ કરો.

$$-5y=-8-10$$

-10 માં -8 ઍડ કરો.

$$-5y=-18$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{18}{5}$$

-x+y=5માં y માટે \frac{18}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{18}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$-x=\frac{7}{5}$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{7}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$