{l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x+7y+3y=0$$

10y ને મેળવવા માટે 7y અને 3y ને એકસાથે કરો.

$$2x+10y=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x+5y-1=4-2x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2x ઍડ કરો.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4x ને મેળવવા માટે 2x અને 2x ને એકસાથે કરો.

$$4x+5y-1=4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$4x+5y=4+1$$

5મેળવવા માટે 4 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$4x+5y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+10y=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-10y$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

-10y ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-5y$$

અન્ય સમીકરણ, 4x+5y=5 માં x માટે -5y નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

-5y ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-20y+5y=5$$

5y માં -20y ઍડ કરો.

$$-15y=5$$

બન્ને બાજુનો -15 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=-5yમાં y માટે -\frac{1}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

-\frac{1}{3} ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x+7y+3y=0$$

10y ને મેળવવા માટે 7y અને 3y ને એકસાથે કરો.

$$2x+10y=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x+5y-1=4-2x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2x ઍડ કરો.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4x ને મેળવવા માટે 2x અને 2x ને એકસાથે કરો.

$$4x+5y-1=4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$4x+5y=4+1$$

5મેળવવા માટે 4 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$4x+5y=5$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x+7y+3y=0$$

10y ને મેળવવા માટે 7y અને 3y ને એકસાથે કરો.

$$2x+10y=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x+5y-1=4-2x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2x ઍડ કરો.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4x ને મેળવવા માટે 2x અને 2x ને એકસાથે કરો.

$$4x+5y-1=4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$4x+5y=4+1$$

5મેળવવા માટે 4 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$4x+5y=5$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

2x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

સરળ બનાવો.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 8x+40y=0માંથી 8x+10y=10 ને ઘટાડો.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

-8x માં 8x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 8x અને -8x ને વિભાજિત કરો.

$$40y-10y=-10$$

-10y માં 40y ઍડ કરો.

$$30y=-10$$

બન્ને બાજુનો 30 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{3}$$

4x+5y=5માં y માટે -\frac{1}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

-\frac{1}{3} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{5}{3} ઍડ કરો.

$$4x=\frac{20}{3}$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$