{c}{300x+200y=2400}{x+y=10} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { c } { 300 x + 200 y = 2400 } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=4$$

$$y=6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$300x+200y=2400,x+y=10$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$300x+200y=2400$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 200y નો ઘટાડો કરો.

$$300x=-200y+2400$$

બન્ને બાજુનો 300 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{300}\left(-200y+2400\right)$$

-200y+2400 ને \frac{1}{300} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{3}y+8$$

અન્ય સમીકરણ, x+y=10 માં x માટે -\frac{2y}{3}+8 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{2}{3}y+8+y=10$$

y માં -\frac{2y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{3}y+8=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{1}{3}y=2$$

બન્ને બાજુનો 3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=6$$

x=-\frac{2}{3}y+8માં y માટે 6 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{2}{3}\times 6+8$$

6 ને -\frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-4+8$$

-4 માં 8 ઍડ કરો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=6$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$300x+200y=2400,x+y=10$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}300&200\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2400\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}300&200\\1&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}300&200\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300&200\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}300&200\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2400\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}300&200\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2400\\10\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}300&200\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2400\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{300-200}&-\frac{200}{300-200}\\-\frac{1}{300-200}&\frac{300}{300-200}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2400\\10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-2\\-\frac{1}{100}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2400\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 2400-2\times 10\\-\frac{1}{100}\times 2400+3\times 10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=4,y=6$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$300x+200y=2400,x+y=10$$

300x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 300 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$300x+200y=2400,300x+300y=300\times 10$$

સરળ બનાવો.

$$300x+200y=2400,300x+300y=3000$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 300x+200y=2400માંથી 300x+300y=3000 ને ઘટાડો.

$$300x-300x+200y-300y=2400-3000$$

-300x માં 300x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 300x અને -300x ને વિભાજિત કરો.

$$200y-300y=2400-3000$$

-300y માં 200y ઍડ કરો.

$$-100y=2400-3000$$

-3000 માં 2400 ઍડ કરો.

$$-100y=-600$$

બન્ને બાજુનો -100 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=6$$

x+y=10માં y માટે 6 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+6=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=6$$