{c}{3x-2y=1}{-5x-3y=-8} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { c } { 3 x - 2 y = 1 } \\ { - 5 x - 3 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-2y=1,-5x-3y=-8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-2y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2y ઍડ કરો.

$$3x=2y+1$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

2y+1 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -5x-3y=-8 માં x માટે \frac{2y+1}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-5\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=-8$$

\frac{2y+1}{3} ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{10}{3}y-\frac{5}{3}-3y=-8$$

-3y માં -\frac{10y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{19}{3}y-\frac{5}{3}=-8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{5}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{19}{3}y=-\frac{19}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{19}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=1$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{2+1}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{2}{3} માં \frac{1}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-2y=1,-5x-3y=-8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-5&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{3\left(-3\right)-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{3\left(-3\right)-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}-\frac{2}{19}\left(-8\right)\\-\frac{5}{19}-\frac{3}{19}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-2y=1,-5x-3y=-8$$

3x અને -5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-5\times 3x-5\left(-2\right)y=-5,3\left(-5\right)x+3\left(-3\right)y=3\left(-8\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-15x+10y=-5,-15x-9y=-24$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -15x+10y=-5માંથી -15x-9y=-24 ને ઘટાડો.

$$-15x+15x+10y+9y=-5+24$$

15x માં -15x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -15x અને 15x ને વિભાજિત કરો.

$$10y+9y=-5+24$$

9y માં 10y ઍડ કરો.

$$19y=-5+24$$

24 માં -5 ઍડ કરો.

$$19y=19$$

બન્ને બાજુનો 19 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

-5x-3y=-8માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-5x-3=-8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3 ઍડ કરો.

$$-5x=-5$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=1$$