{c}{2(3x-y)=2(x-5y)-64}{3(3x-2)-2y=30} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { 3 ( 3 x - 2 ) - 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=2$$

$$y=-9$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે 3x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

2 સાથે x-5y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

4x ને મેળવવા માટે 6x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$4x-2y=-10y-64$$

બંને સાઇડ્સ માટે 10y ઍડ કરો.

$$4x-2y+10y=-64$$

8y ને મેળવવા માટે -2y અને 10y ને એકસાથે કરો.

$$4x+8y=-64$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે 3x-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-6-2y=30$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6 ઍડ કરો.

$$9x-2y=30+6$$

36મેળવવા માટે 30 અને 6 ને ઍડ કરો.

$$9x-2y=36$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x+8y=-64$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8y નો ઘટાડો કરો.

$$4x=-8y-64$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)$$

-8y-64 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-2y-16$$

અન્ય સમીકરણ, 9x-2y=36 માં x માટે -2y-16 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9\left(-2y-16\right)-2y=36$$

-2y-16 ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-18y-144-2y=36$$

-2y માં -18y ઍડ કરો.

$$-20y-144=36$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 144 ઍડ કરો.

$$-20y=180$$

બન્ને બાજુનો -20 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-9$$

x=-2y-16માં y માટે -9 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-2\left(-9\right)-16$$

-9 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=18-16$$

18 માં -16 ઍડ કરો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=-9$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે 3x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

2 સાથે x-5y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

4x ને મેળવવા માટે 6x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$4x-2y=-10y-64$$

બંને સાઇડ્સ માટે 10y ઍડ કરો.

$$4x-2y+10y=-64$$

8y ને મેળવવા માટે -2y અને 10y ને એકસાથે કરો.

$$4x+8y=-64$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે 3x-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-6-2y=30$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6 ઍડ કરો.

$$9x-2y=30+6$$

36મેળવવા માટે 30 અને 6 ને ઍડ કરો.

$$9x-2y=36$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 36\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 36\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=2,y=-9$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે 3x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

2 સાથે x-5y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

4x ને મેળવવા માટે 6x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$4x-2y=-10y-64$$

બંને સાઇડ્સ માટે 10y ઍડ કરો.

$$4x-2y+10y=-64$$

8y ને મેળવવા માટે -2y અને 10y ને એકસાથે કરો.

$$4x+8y=-64$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે 3x-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-6-2y=30$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6 ઍડ કરો.

$$9x-2y=30+6$$

36મેળવવા માટે 30 અને 6 ને ઍડ કરો.

$$9x-2y=36$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

4x અને 9x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 9 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 36$$

સરળ બનાવો.

$$36x+72y=-576,36x-8y=144$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 36x+72y=-576માંથી 36x-8y=144 ને ઘટાડો.

$$36x-36x+72y+8y=-576-144$$

-36x માં 36x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 36x અને -36x ને વિભાજિત કરો.

$$72y+8y=-576-144$$

8y માં 72y ઍડ કરો.

$$80y=-576-144$$

-144 માં -576 ઍડ કરો.

$$80y=-720$$

બન્ને બાજુનો 80 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-9$$

9x-2y=36માં y માટે -9 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$9x-2\left(-9\right)=36$$

-9 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$9x+18=36$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 18 નો ઘટાડો કરો.

$$9x=18$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=-9$$