{c}{3-2y/4-1/4=1-2x/6}{25/8-1=frac{x+3}{2}-frac{3(1+y)}{8}} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { c } { \frac { 3 - 2 y } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 - 2 x } { 6 } } \\ { \frac { 25 } { 8 } - 1 = \frac { x + 3 } { 2 } - \frac { 3 ( 1 + y ) } { 8 } } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=5$$

$$y=4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

3 સાથે 3-2y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

6 મેળવવા માટે 9 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

2 સાથે 1-2x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6-6y=2-4x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4x ઍડ કરો.

$$6-6y+4x=2$$

બન્ને બાજુથી 6 ઘટાડો.

$$-6y+4x=2-6$$

-4 મેળવવા માટે 2 માંથી 6 ને ઘટાડો.

$$-6y+4x=-4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 8 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 8,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

17 મેળવવા માટે 25 માંથી 8 ને ઘટાડો.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

4 સાથે x+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

-3 સાથે 1+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$17=4x+12-3-3y$$

9 મેળવવા માટે 12 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$17=4x+9-3y$$

બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$4x+9-3y=17$$

બન્ને બાજુથી 9 ઘટાડો.

$$4x-3y=17-9$$

8 મેળવવા માટે 17 માંથી 9 ને ઘટાડો.

$$4x-3y=8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$-6y+4x=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4x નો ઘટાડો કરો.

$$-6y=-4x-4$$

બન્ને બાજુનો -6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{6}\left(-4x-4\right)$$

-4x-4 ને -\frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -3y+4x=8 માં y માટે \frac{2+2x}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-3\left(\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\right)+4x=8$$

\frac{2+2x}{3} ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2x-2+4x=8$$

4x માં -2x ઍડ કરો.

$$2x-2=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$2x=10$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=5$$

y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}માં x માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=\frac{2}{3}\times 5+\frac{2}{3}$$

5 ને \frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{10+2}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{10}{3} માં \frac{2}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=4,x=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

3 સાથે 3-2y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

6 મેળવવા માટે 9 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

2 સાથે 1-2x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6-6y=2-4x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4x ઍડ કરો.

$$6-6y+4x=2$$

બન્ને બાજુથી 6 ઘટાડો.

$$-6y+4x=2-6$$

-4 મેળવવા માટે 2 માંથી 6 ને ઘટાડો.

$$-6y+4x=-4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 8 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 8,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

17 મેળવવા માટે 25 માંથી 8 ને ઘટાડો.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

4 સાથે x+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

-3 સાથે 1+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$17=4x+12-3-3y$$

9 મેળવવા માટે 12 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$17=4x+9-3y$$

બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$4x+9-3y=17$$

બન્ને બાજુથી 9 ઘટાડો.

$$4x-3y=17-9$$

8 મેળવવા માટે 17 માંથી 9 ને ઘટાડો.

$$4x-3y=8$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{6}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=4,x=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

3 સાથે 3-2y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

6 મેળવવા માટે 9 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

2 સાથે 1-2x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6-6y=2-4x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4x ઍડ કરો.

$$6-6y+4x=2$$

બન્ને બાજુથી 6 ઘટાડો.

$$-6y+4x=2-6$$

-4 મેળવવા માટે 2 માંથી 6 ને ઘટાડો.

$$-6y+4x=-4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 8 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 8,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

17 મેળવવા માટે 25 માંથી 8 ને ઘટાડો.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

4 સાથે x+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

-3 સાથે 1+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$17=4x+12-3-3y$$

9 મેળવવા માટે 12 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$17=4x+9-3y$$

બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$4x+9-3y=17$$

બન્ને બાજુથી 9 ઘટાડો.

$$4x-3y=17-9$$

8 મેળવવા માટે 17 માંથી 9 ને ઘટાડો.

$$4x-3y=8$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -6y+4x=-4માંથી -3y+4x=8 ને ઘટાડો.

$$-6y+3y+4x-4x=-4-8$$

-4x માં 4x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 4x અને -4x ને વિભાજિત કરો.

$$-6y+3y=-4-8$$

3y માં -6y ઍડ કરો.

$$-3y=-4-8$$

-8 માં -4 ઍડ કરો.

$$-3y=-12$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=4$$

-3y+4x=8માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-3\times 4+4x=8$$

4 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-12+4x=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 12 ઍડ કરો.

$$4x=20$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=4,x=5$$