\left\{ \begin{array} { c } { \frac { 2 x - 1 } { 2 } + \frac { y - 3 } { 3 } = \frac { 11 } { 6 } } \\ { - \frac { 2 x } { 5 } + \frac { y - 1 } { 10 } = - \frac { 6 } { 5 } } \end{array} \right.
x, y માટે ઉકેલો
x=3
y=1
ગ્રાફ
શેર કરો
ક્લિપબોર્ડ પર કૉપિ કરી
3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11
પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,3,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.
6x-3+2\left(y-3\right)=11
3 સાથે 2x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
6x-3+2y-6=11
2 સાથે y-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
6x-9+2y=11
-9 મેળવવા માટે -3 માંથી 6 ને ઘટાડો.
6x+2y=11+9
બંને સાઇડ્સ માટે 9 ઍડ કરો.
6x+2y=20
20મેળવવા માટે 11 અને 9 ને ઍડ કરો.
-2\times 2x+y-1=-12
બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,10 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.
-4x+y-1=-12
-4 મેળવવા માટે -2 સાથે 2 નો ગુણાકાર કરો.
-4x+y=-12+1
બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.
-4x+y=-11
-11મેળવવા માટે -12 અને 1 ને ઍડ કરો.
6x+2y=20,-4x+y=-11
પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.
6x+2y=20
એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.
6x=-2y+20
સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.
x=\frac{1}{6}\left(-2y+20\right)
બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.
x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}
-2y+20 ને \frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.
-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)+y=-11
અન્ય સમીકરણ, -4x+y=-11 માં x માટે \frac{-y+10}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.
\frac{4}{3}y-\frac{40}{3}+y=-11
\frac{-y+10}{3} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.
\frac{7}{3}y-\frac{40}{3}=-11
y માં \frac{4y}{3} ઍડ કરો.
\frac{7}{3}y=\frac{7}{3}
સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{40}{3} ઍડ કરો.
y=1
સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{7}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.
x=\frac{-1+10}{3}
x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.
x=3
સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{1}{3} માં \frac{10}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.
x=3,y=1
સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.
3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11
પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,3,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.
6x-3+2\left(y-3\right)=11
3 સાથે 2x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
6x-3+2y-6=11
2 સાથે y-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
6x-9+2y=11
-9 મેળવવા માટે -3 માંથી 6 ને ઘટાડો.
6x+2y=11+9
બંને સાઇડ્સ માટે 9 ઍડ કરો.
6x+2y=20
20મેળવવા માટે 11 અને 9 ને ઍડ કરો.
-2\times 2x+y-1=-12
બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,10 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.
-4x+y-1=-12
-4 મેળવવા માટે -2 સાથે 2 નો ગુણાકાર કરો.
-4x+y=-12+1
બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.
-4x+y=-11
-11મેળવવા માટે -12 અને 1 ને ઍડ કરો.
6x+2y=20,-4x+y=-11
સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.
\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.
inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{6-2\left(-4\right)}&\frac{6}{6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
2\times 2 ના મેટ્રિક્સ માટે \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), પ્રતિલોભ મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શક્યે છે.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
અંકગણિતીય કરો.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 20-\frac{1}{7}\left(-11\right)\\\frac{2}{7}\times 20+\frac{3}{7}\left(-11\right)\end{matrix}\right)
મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
અંકગણિતીય કરો.
x=3,y=1
મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.
3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11
પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,3,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.
6x-3+2\left(y-3\right)=11
3 સાથે 2x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
6x-3+2y-6=11
2 સાથે y-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
6x-9+2y=11
-9 મેળવવા માટે -3 માંથી 6 ને ઘટાડો.
6x+2y=11+9
બંને સાઇડ્સ માટે 9 ઍડ કરો.
6x+2y=20
20મેળવવા માટે 11 અને 9 ને ઍડ કરો.
-2\times 2x+y-1=-12
બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,10 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.
-4x+y-1=-12
-4 મેળવવા માટે -2 સાથે 2 નો ગુણાકાર કરો.
-4x+y=-12+1
બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.
-4x+y=-11
-11મેળવવા માટે -12 અને 1 ને ઍડ કરો.
6x+2y=20,-4x+y=-11
બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.
-4\times 6x-4\times 2y=-4\times 20,6\left(-4\right)x+6y=6\left(-11\right)
6x અને -4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો.
-24x-8y=-80,-24x+6y=-66
સરળ બનાવો.
-24x+24x-8y-6y=-80+66
બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -24x-8y=-80માંથી -24x+6y=-66 ને ઘટાડો.
-8y-6y=-80+66
24x માં -24x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -24x અને 24x ને વિભાજિત કરો.
-14y=-80+66
-6y માં -8y ઍડ કરો.
-14y=-14
66 માં -80 ઍડ કરો.
y=1
બન્ને બાજુનો -14 થી ભાગાકાર કરો.
-4x+1=-11
-4x+y=-11માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.
-4x=-12
સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.
x=3
બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.
x=3,y=1
સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.
ઉદાહરણો
દ્વિઘાત સમીકરણ
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
ત્રિકોણમિતિ
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
રેખીય સમીકરણ
y = 3x + 4
અંકગણિત
699 * 533
મેટ્રિક્સ
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
યુગપત્ સમીકરણ
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
ડિફરેન્શિએશન
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
ઇન્ટિગ્રેશન
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
લિમિટ્સ
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}