x/7+y/3=5;-x/14+3y=26 ઉકેલો

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=14$$

$$y=9$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 21 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 7,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3x+7y=105$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 14 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-x+42y=364$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+7y=105$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 7y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-7y+105$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

-7y+105 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

અન્ય સમીકરણ, -x+42y=364 માં x માટે -\frac{7y}{3}+35 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

-\frac{7y}{3}+35 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

42y માં \frac{7y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 35 ઍડ કરો.

$$\frac{133}{3}y=399$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{133}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=9$$

x=-\frac{7}{3}y+35માં y માટે 9 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

9 ને -\frac{7}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-21+35$$

-21 માં 35 ઍડ કરો.

$$x=14$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=14,y=9$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 21 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 7,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3x+7y=105$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 14 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-x+42y=364$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=14,y=9$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 21 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 7,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3x+7y=105$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 14 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-x+42y=364$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

3x અને -x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

સરળ બનાવો.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -3x-7y=-105માંથી -3x+126y=1092 ને ઘટાડો.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

3x માં -3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -3x અને 3x ને વિભાજિત કરો.

$$-7y-126y=-105-1092$$

-126y માં -7y ઍડ કરો.

$$-133y=-105-1092$$

-1092 માં -105 ઍડ કરો.

$$-133y=-1197$$

બન્ને બાજુનો -133 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=9$$

-x+42y=364માં y માટે 9 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-x+42\times 9=364$$

9 ને 42 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-x+378=364$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 378 નો ઘટાડો કરો.

$$-x=-14$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=14$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=14,y=9$$