Resolver y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

Resolver y

$$y=2$$

$$y=15$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza y^{2}-17y+30 usando fórmulas y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-17 ab=30$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

A solución é a parella que fornece a suma -17.

$$a=-15 b=-2$$

Reescribe a expresión factorizada \left(y+a\right)\left(y+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve y-15=0 e y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como y^{2}+ay+by+30. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

A solución é a parella que fornece a suma -17.

$$a=-15 b=-2$$

Reescribe y^{2}-17y+30 como \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

Factoriza y no primeiro e -2 no grupo segundo.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

Factoriza o termo común y-15 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve y-15=0 e y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -17 e c por 30 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Eleva -17 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

Multiplica -4 por 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

Suma 289 a -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

O contrario de -17 é 17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{17±13}{2} se ± é máis. Suma 17 a 13.

$$y=\frac{30}{2}$$

Divide 30 entre 2.

$$y=15$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{17±13}{2} se ± é menos. Resta 13 de 17.

$$y=\frac{4}{2}$$

Divide 4 entre 2.

$$y=2$$

A ecuación está resolta.

$$y=15 y=2$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

Se restas 30 a si mesmo, quédache 0.

$$y^{2}-17y=-30$$

Divide -17, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{17}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{17}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{17}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

Suma -30 a \frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

Factoriza y^{2}-17y+\frac{289}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplifica.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

Suma \frac{17}{2} en ambos lados da ecuación.

$$y=15 y=2$$