Resolver x-3y=7text{and}3x+3y=9

$$x - 3 y = 7 \text { and } 3 x + 3 y = 9$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-3y=7$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=3y+7$$

Substitúe x por 3y+7 na outra ecuación, 3x+3y=9.

$$3\left(3y+7\right)+3y=9$$

Multiplica 3 por 3y+7.

$$9y+21+3y=9$$

Suma 9y a 3y.

$$12y+21=9$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$12y=-12$$

Divide ambos lados entre 12.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=3y+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3\left(-1\right)+7$$

Multiplica 3 por -1.

$$x=-3+7$$

Suma 7 a -3.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 7,3x+3y=9$$

Simplifica.

$$3x-9y=21,3x+3y=9$$

Resta 3x+3y=9 de 3x-9y=21 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-9y-3y=21-9$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y-3y=21-9$$

Suma -9y a -3y.

$$-12y=21-9$$

Suma 21 a -9.

$$-12y=12$$

Divide ambos lados entre -12.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 3x+3y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+3\left(-1\right)=9$$

Multiplica 3 por -1.

$$3x-3=9$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$3x=12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=-1$$