Resolver x^2+x-342=0

$$x ^ { 2 } + x - 342 = 0$$

Resolver x

$$x=-19$$

$$x=18$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza x^{2}+x-342 usando fórmulas x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=1 ab=-342$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -342.

$$-1,342 -2,171 -3,114 -6,57 -9,38 -18,19$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+342=341 -2+171=169 -3+114=111 -6+57=51 -9+38=29 -18+19=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 1.

$$a=-18 b=19$$

Reescribe a expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(x-18\right)\left(x+19\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-18=0 e x+19=0.

$$x=18 x=-19$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx-342. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=1 ab=1\left(-342\right)=-342$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -342.

$$-1,342 -2,171 -3,114 -6,57 -9,38 -18,19$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+342=341 -2+171=169 -3+114=111 -6+57=51 -9+38=29 -18+19=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 1.

$$a=-18 b=19$$

Reescribe x^{2}+x-342 como \left(x^{2}-18x\right)+\left(19x-342\right).

$$\left(x^{2}-18x\right)+\left(19x-342\right)$$

Factoriza x no primeiro e 19 no grupo segundo.

$$x\left(x-18\right)+19\left(x-18\right)$$

Factoriza o termo común x-18 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-18\right)\left(x+19\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-18=0 e x+19=0.

$$x=18 x=-19$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x^{2}+x-342=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por 1 e c por -342 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-342\right)}}{2}$$

Eleva 1 ao cadrado.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-342\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -342.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+1368}}{2}$$

Suma 1 a 1368.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1369}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 1369.

$$x=\frac{-1±37}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-1±37}{2} se ± é máis. Suma -1 a 37.

$$x=\frac{36}{2}$$

Divide 36 entre 2.

$$x=18$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-1±37}{2} se ± é menos. Resta 37 de -1.

$$x=-\frac{38}{2}$$

Divide -38 entre 2.

$$x=-19$$

A ecuación está resolta.

$$x=18 x=-19$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x-342=0$$

Suma 342 en ambos lados da ecuación.

$$x^{2}+x-342-\left(-342\right)=-\left(-342\right)$$

Se restas -342 a si mesmo, quédache 0.

$$x^{2}+x=-\left(-342\right)$$

Resta -342 de 0.

$$x^{2}+x=342$$

Divide 1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=342+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=342+\frac{1}{4}$$

Suma 342 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1369}{4}$$

Factoriza x^{2}+x+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1369}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{4}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{37}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{37}{2}$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=18 x=-19$$