Resolver x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Resolver x

$$x=-40$$

$$x=9$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza x^{2}+31x-360 usando fórmulas x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=31 ab=-360$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

A solución é a parella que fornece a suma 31.

$$a=-9 b=40$$

Reescribe a expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-9=0 e x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx-360. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

A solución é a parella que fornece a suma 31.

$$a=-9 b=40$$

Reescribe x^{2}+31x-360 como \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Factoriza x no primeiro e 40 no grupo segundo.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Factoriza o termo común x-9 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-9=0 e x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por 31 e c por -360 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

Eleva 31 ao cadrado.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Suma 961 a 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-31±49}{2} se ± é máis. Suma -31 a 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

Divide 18 entre 2.

$$x=9$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-31±49}{2} se ± é menos. Resta 49 de -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

Divide -80 entre 2.

$$x=-40$$

A ecuación está resolta.

$$x=9 x=-40$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Suma 360 en ambos lados da ecuación.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Se restas -360 a si mesmo, quédache 0.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Resta -360 de 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Divide 31, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{31}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{31}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{31}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Suma 360 a \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Factoriza x^{2}+31x+\frac{961}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Resta \frac{31}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=9 x=-40$$