Resolver n^2-n=90

$$n ^ { 2 } - n = 90$$

Resolver n

$$n=-9$$

$$n=10$$

Pasos que usan factorización

Resta 90 en ambos lados.

$$n^{2}-n-90=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza n^{2}-n-90 usando fórmulas n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=-90$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -1.

$$a=-10 b=9$$

Reescribe a expresión factorizada \left(n+a\right)\left(n+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(n-10\right)\left(n+9\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve n-10=0 e n+9=0.

$$n=10 n=-9$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 90 en ambos lados.

$$n^{2}-n-90=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como n^{2}+an+bn-90. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=1\left(-90\right)=-90$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -1.

$$a=-10 b=9$$

Reescribe n^{2}-n-90 como \left(n^{2}-10n\right)+\left(9n-90\right).

$$\left(n^{2}-10n\right)+\left(9n-90\right)$$

Factoriza n no primeiro e 9 no grupo segundo.

$$n\left(n-10\right)+9\left(n-10\right)$$

Factoriza o termo común n-10 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(n-10\right)\left(n+9\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve n-10=0 e n+9=0.

$$n=10 n=-9$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$n^{2}-n=90$$

Resta 90 en ambos lados da ecuación.

$$n^{2}-n-90=90-90$$

Se restas 90 a si mesmo, quédache 0.

$$n^{2}-n-90=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -1 e c por -90 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-90\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -90.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2}$$

Suma 1 a 360.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 361.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±19}{2}$$

O contrario de -1 é 1.

$$n=\frac{1±19}{2}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{1±19}{2} se ± é máis. Suma 1 a 19.

$$n=\frac{20}{2}$$

Divide 20 entre 2.

$$n=10$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{1±19}{2} se ± é menos. Resta 19 de 1.

$$n=-\frac{18}{2}$$

Divide -18 entre 2.

$$n=-9$$

A ecuación está resolta.

$$n=10 n=-9$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n=90$$

Divide -1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=90+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=90+\frac{1}{4}$$

Suma 90 a \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{361}{4}$$

Factoriza n^{2}-n+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{19}{2}$$

Suma \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$n=10 n=-9$$