Resolver n^2-4019n+2009^2=0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } = 0$$

Resolver n

$$n = \frac{3 \sqrt{893} + 4019}{2} \approx 2054.324658392$$

$$n = \frac{4019 - 3 \sqrt{893}}{2} \approx 1964.675341608$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Calcula 2009 á potencia de 2 e obtén 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -4019 e c por 4036081 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 4036081}}{2}$$

Eleva -4019 ao cadrado.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-4\times 4036081}}{2}$$

Multiplica -4 por 4036081.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-16144324}}{2}$$

Suma 16152361 a -16144324.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{8037}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 8037.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±3\sqrt{893}}{2}$$

O contrario de -4019 é 4019.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} se ± é máis. Suma 4019 a 3\sqrt{893}.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} se ± é menos. Resta 3\sqrt{893} de 4019.

$$n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

Calcula 2009 á potencia de 2 e obtén 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Resta 4036081 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$n^{2}-4019n=-4036081$$

Divide -4019, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{4019}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{4019}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}-4019n+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}=-4036081+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{4019}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=-4036081+\frac{16152361}{4}$$

Suma -4036081 a \frac{16152361}{4}.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=\frac{8037}{4}$$

Factoriza n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}=\frac{8037}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8037}{4}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{4019}{2}=\frac{3\sqrt{893}}{2} n-\frac{4019}{2}=-\frac{3\sqrt{893}}{2}$$

Suma \frac{4019}{2} en ambos lados da ecuación.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$