Resolver a+bsqrt{3}=frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}

$$a + b \sqrt { 3 } = \frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 }$$

Resolver b

$$b=-\frac{\sqrt{3}a}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$$

Pasos para resolver unha ecuación lineal

Racionaliza o denominador de \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} mediante a multiplicación do numerador e o denominador por \sqrt{3}-1.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$$

Considera \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

Eleva \sqrt{3} ao cadrado. Eleva 1 ao cadrado.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}$$

Resta 1 de 3 para obter 2.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$

Multiplica \sqrt{3}-1 e \sqrt{3}-1 para obter \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}$$

O cadrado de \sqrt{3} é 3.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}$$

Suma 3 e 1 para obter 4.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

Divide cada termo de 4-2\sqrt{3} entre 2 para obter 2-\sqrt{3}.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Resta a en ambos lados.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

A ecuación está en forma estándar.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Divide ambos lados entre \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

A división entre \sqrt{3} desfai a multiplicación por \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Divide 2-\sqrt{3}-a entre \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Resolver a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$