Resolver 9y^2-104y-48

$$9 y ^ { 2 } - 104 y - 48$$

Factorizar

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 9y^{2}+ay+by-48. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-104 ab=9\left(-48\right)=-432$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -432.

$$1,-432 2,-216 3,-144 4,-108 6,-72 8,-54 9,-48 12,-36 16,-27 18,-24$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-432=-431 2-216=-214 3-144=-141 4-108=-104 6-72=-66 8-54=-46 9-48=-39 12-36=-24 16-27=-11 18-24=-6$$

A solución é a parella que fornece a suma -104.

$$a=-108 b=4$$

Reescribe 9y^{2}-104y-48 como \left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right).

$$\left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right)$$

Factoriza 9y no primeiro e 4 no grupo segundo.

$$9y\left(y-12\right)+4\left(y-12\right)$$

Factoriza o termo común y-12 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-104y-48=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{\left(-104\right)^{2}-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Eleva -104 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-36\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por -48.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816+1728}}{2\times 9}$$

Suma 10816 a 1728.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{12544}}{2\times 9}$$

Obtén a raíz cadrada de 12544.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±112}{2\times 9}$$

O contrario de -104 é 104.

$$y=\frac{104±112}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$y=\frac{104±112}{18}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{104±112}{18} se ± é máis. Suma 104 a 112.

$$y=\frac{216}{18}$$

Divide 216 entre 18.

$$y=12$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{104±112}{18} se ± é menos. Resta 112 de 104.

$$y=-\frac{8}{18}$$

Reduce a fracción \frac{-8}{18} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$y=-\frac{4}{9}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe 12 por x_{1} e -\frac{4}{9} por x_{2}.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y-\left(-\frac{4}{9}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y+\frac{4}{9}\right)$$

Suma \frac{4}{9} a y mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\times \frac{9y+4}{9}$$

Descarta o máximo común divisor 9 en 9 e 9.

$$9y^{2}-104y-48=\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Calcular

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$