Resolver 80x^2+23x-15

$$80 { x }^{ 2 } +23x-15$$

Factorizar

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 80x^{2}+ax+bx-15. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=23 ab=80\left(-15\right)=-1200$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -1200.

$$-1,1200 -2,600 -3,400 -4,300 -5,240 -6,200 -8,150 -10,120 -12,100 -15,80 -16,75 -20,60 -24,50 -25,48 -30,40$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+1200=1199 -2+600=598 -3+400=397 -4+300=296 -5+240=235 -6+200=194 -8+150=142 -10+120=110 -12+100=88 -15+80=65 -16+75=59 -20+60=40 -24+50=26 -25+48=23 -30+40=10$$

A solución é a parella que fornece a suma 23.

$$a=-25 b=48$$

Reescribe 80x^{2}+23x-15 como \left(80x^{2}-25x\right)+\left(48x-15\right).

$$\left(80x^{2}-25x\right)+\left(48x-15\right)$$

Factoriza 5x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$5x\left(16x-5\right)+3\left(16x-5\right)$$

Factoriza o termo común 16x-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$80x^{2}+23x-15=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 80\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Eleva 23 ao cadrado.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 80\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Multiplica -4 por 80.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-320\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Multiplica -320 por -15.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+4800}}{2\times 80}$$

Suma 529 a 4800.

$$x=\frac{-23±\sqrt{5329}}{2\times 80}$$

Obtén a raíz cadrada de 5329.

$$x=\frac{-23±73}{2\times 80}$$

Multiplica 2 por 80.

$$x=\frac{-23±73}{160}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-23±73}{160} se ± é máis. Suma -23 a 73.

$$x=\frac{50}{160}$$

Reduce a fracción \frac{50}{160} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$x=\frac{5}{16}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-23±73}{160} se ± é menos. Resta 73 de -23.

$$x=-\frac{96}{160}$$

Reduce a fracción \frac{-96}{160} a termos máis baixos extraendo e cancelando 32.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{5}{16} por x_{1} e -\frac{3}{5} por x_{2}.

$$80x^{2}+23x-15=80\left(x-\frac{5}{16}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$80x^{2}+23x-15=80\left(x-\frac{5}{16}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

Resta \frac{5}{16} de x mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{16x-5}{16}\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

Suma \frac{3}{5} a x mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{16x-5}{16}\times \frac{5x+3}{5}$$

Multiplica \frac{16x-5}{16} por \frac{5x+3}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)}{16\times 5}$$

Multiplica 16 por 5.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)}{80}$$

Descarta o máximo común divisor 80 en 80 e 80.

$$80x^{2}+23x-15=\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Calcular

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$