Resolver 8n^2+n-9=0

$$8 n ^ { 2 } + n - 9 = 0$$

Resolver n

$$n = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1.125$$

$$n=1$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 8n^{2}+an+bn-9. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=1 ab=8\left(-9\right)=-72$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 1.

$$a=-8 b=9$$

Reescribe 8n^{2}+n-9 como \left(8n^{2}-8n\right)+\left(9n-9\right).

$$\left(8n^{2}-8n\right)+\left(9n-9\right)$$

Factoriza 8n no primeiro e 9 no grupo segundo.

$$8n\left(n-1\right)+9\left(n-1\right)$$

Factoriza o termo común n-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(n-1\right)\left(8n+9\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve n-1=0 e 8n+9=0.

$$n=1 n=-\frac{9}{8}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$8n^{2}+n-9=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 8, b por 1 e c por -9 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Eleva 1 ao cadrado.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Multiplica -4 por 8.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-32\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Multiplica -32 por -9.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 8}$$

Suma 1 a 288.

$$n=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 8}$$

Obtén a raíz cadrada de 289.

$$n=\frac{-1±17}{2\times 8}$$

Multiplica 2 por 8.

$$n=\frac{-1±17}{16}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{-1±17}{16} se ± é máis. Suma -1 a 17.

$$n=\frac{16}{16}$$

Divide 16 entre 16.

$$n=1$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{-1±17}{16} se ± é menos. Resta 17 de -1.

$$n=-\frac{18}{16}$$

Reduce a fracción \frac{-18}{16} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$n=-\frac{9}{8}$$

A ecuación está resolta.

$$n=1 n=-\frac{9}{8}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$8n^{2}+n-9=0$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$8n^{2}+n-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Se restas -9 a si mesmo, quédache 0.

$$8n^{2}+n=-\left(-9\right)$$

Resta -9 de 0.

$$8n^{2}+n=9$$

Divide ambos lados entre 8.

$$\frac{8n^{2}+n}{8}=\frac{9}{8}$$

A división entre 8 desfai a multiplicación por 8.

$$n^{2}+\frac{1}{8}n=\frac{9}{8}$$

Divide \frac{1}{8}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{16}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{16} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}+\frac{1}{8}n+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{9}{8}+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{16} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}+\frac{1}{8}n+\frac{1}{256}=\frac{9}{8}+\frac{1}{256}$$

Suma \frac{9}{8} a \frac{1}{256} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$n^{2}+\frac{1}{8}n+\frac{1}{256}=\frac{289}{256}$$

Factoriza n^{2}+\frac{1}{8}n+\frac{1}{256}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{289}{256}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{256}}$$

Simplifica.

$$n+\frac{1}{16}=\frac{17}{16} n+\frac{1}{16}=-\frac{17}{16}$$

Resta \frac{1}{16} en ambos lados da ecuación.

$$n=1 n=-\frac{9}{8}$$