Resolver 7x+y=25text{dan}x-7y=25

$$7 x + y = 25 \text { dan } x - 7 y = 25$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x+y=25,x-7y=25$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x+y=25$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$7x=-y+25$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y+25\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -y+25.

$$x=-\frac{1}{7}y+\frac{25}{7}$$

Substitúe x por \frac{-y+25}{7} na outra ecuación, x-7y=25.

$$-\frac{1}{7}y+\frac{25}{7}-7y=25$$

Suma -\frac{y}{7} a -7y.

$$-\frac{50}{7}y+\frac{25}{7}=25$$

Resta \frac{25}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{50}{7}y=\frac{150}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{50}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=-\frac{1}{7}y+\frac{25}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-3\right)+\frac{25}{7}$$

Multiplica -\frac{1}{7} por -3.

$$x=\frac{3+25}{7}$$

Suma \frac{25}{7} a \frac{3}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x+y=25,x-7y=25$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{7\left(-7\right)-1}&-\frac{1}{7\left(-7\right)-1}\\-\frac{1}{7\left(-7\right)-1}&\frac{7}{7\left(-7\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{50}&\frac{1}{50}\\\frac{1}{50}&-\frac{7}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{50}\times 25+\frac{1}{50}\times 25\\\frac{1}{50}\times 25-\frac{7}{50}\times 25\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x+y=25,x-7y=25$$

Para que 7x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$7x+y=25,7x+7\left(-7\right)y=7\times 25$$

Simplifica.

$$7x+y=25,7x-49y=175$$

Resta 7x-49y=175 de 7x+y=25 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7x-7x+y+49y=25-175$$

Suma 7x a -7x. 7x e -7x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+49y=25-175$$

Suma y a 49y.

$$50y=25-175$$

Suma 25 a -175.

$$50y=-150$$

Divide ambos lados entre 50.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x-7y=25. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-7\left(-3\right)=25$$

Multiplica -7 por -3.

$$x+21=25$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=-3$$