Resolver 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Resolver x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 6x^{2}+ax+bx-7. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 19.

$$a=-2 b=21$$

Reescribe 6x^{2}+19x-7 como \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 7 no grupo segundo.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Factoriza o termo común 3x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3x-1=0 e 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 6, b por 19 e c por -7 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Eleva 19 ao cadrado.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multiplica -4 por 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multiplica -24 por -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Suma 361 a 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Obtén a raíz cadrada de 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Multiplica 2 por 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-19±23}{12} se ± é máis. Suma -19 a 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Reduce a fracción \frac{4}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-19±23}{12} se ± é menos. Resta 23 de -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Reduce a fracción \frac{-42}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Suma 7 en ambos lados da ecuación.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Se restas -7 a si mesmo, quédache 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Resta -7 de 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Divide ambos lados entre 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

A división entre 6 desfai a multiplicación por 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Divide \frac{19}{6}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{19}{12}. Despois, suma o cadrado de \frac{19}{12} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Eleva \frac{19}{12} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Suma \frac{7}{6} a \frac{361}{144} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Factoriza x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Resta \frac{19}{12} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$