Resolver 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Resolver x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20.8$$

$$x=21$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 5x^{2}+ax+bx-2184. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -1.

$$a=-105 b=104$$

Reescribe 5x^{2}-x-2184 como \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Factoriza 5x no primeiro e 104 no grupo segundo.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Factoriza o termo común x-21 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-21=0 e 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 5, b por -1 e c por -2184 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -4 por 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -20 por -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Suma 1 a 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Obtén a raíz cadrada de 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

O contrario de -1 é 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{1±209}{10} se ± é máis. Suma 1 a 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Divide 210 entre 10.

$$x=21$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{1±209}{10} se ± é menos. Resta 209 de 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Reduce a fracción \frac{-208}{10} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

A ecuación está resolta.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Suma 2184 en ambos lados da ecuación.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Se restas -2184 a si mesmo, quédache 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Resta -2184 de 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Divide ambos lados entre 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

A división entre 5 desfai a multiplicación por 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Divide -\frac{1}{5}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{10}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{10} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{10} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Suma \frac{2184}{5} a \frac{1}{100} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Factoriza x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Suma \frac{1}{10} en ambos lados da ecuación.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$