Resolver 5x^2-41x+42

$$5 { x }^{ 2 } -41x+42$$

Factorizar

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 5x^{2}+ax+bx+42. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-41 ab=5\times 42=210$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 210.

$$-1,-210 -2,-105 -3,-70 -5,-42 -6,-35 -7,-30 -10,-21 -14,-15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-210=-211 -2-105=-107 -3-70=-73 -5-42=-47 -6-35=-41 -7-30=-37 -10-21=-31 -14-15=-29$$

A solución é a parella que fornece a suma -41.

$$a=-35 b=-6$$

Reescribe 5x^{2}-41x+42 como \left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Factoriza 5x no primeiro e -6 no grupo segundo.

$$5x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Factoriza o termo común x-7 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-41x+42=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Eleva -41 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Multiplica -4 por 5.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-20\times 42}}{2\times 5}$$

Multiplica -20 por 42.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-840}}{2\times 5}$$

Suma 1681 a -840.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Obtén a raíz cadrada de 841.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±29}{2\times 5}$$

O contrario de -41 é 41.

$$x=\frac{41±29}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$x=\frac{41±29}{10}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{41±29}{10} se ± é máis. Suma 41 a 29.

$$x=\frac{70}{10}$$

Divide 70 entre 10.

$$x=7$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{41±29}{10} se ± é menos. Resta 29 de 41.

$$x=\frac{12}{10}$$

Reduce a fracción \frac{12}{10} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{6}{5}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe 7 por x_{1} e \frac{6}{5} por x_{2}.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\left(x-\frac{6}{5}\right)$$

Resta \frac{6}{5} de x mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\times \frac{5x-6}{5}$$

Descarta o máximo común divisor 5 en 5 e 5.

$$5x^{2}-41x+42=\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Calcular

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$