Resolver 49v^2+112v+64

$$49 v ^ { 2 } + 112 v + 64$$

Factorizar

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 49v^{2}+av+bv+64. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=112 ab=49\times 64=3136$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 3136.

$$1,3136 2,1568 4,784 7,448 8,392 14,224 16,196 28,112 32,98 49,64 56,56$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+3136=3137 2+1568=1570 4+784=788 7+448=455 8+392=400 14+224=238 16+196=212 28+112=140 32+98=130 49+64=113 56+56=112$$

A solución é a parella que fornece a suma 112.

$$a=56 b=56$$

Reescribe 49v^{2}+112v+64 como \left(49v^{2}+56v\right)+\left(56v+64\right).

$$\left(49v^{2}+56v\right)+\left(56v+64\right)$$

Factoriza 7v no primeiro e 8 no grupo segundo.

$$7v\left(7v+8\right)+8\left(7v+8\right)$$

Factoriza o termo común 7v+8 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Pasos que usan cadrado de binomial

Este trinomio ten a forma dun cadrado de trinomio, quizais multiplicado por un factor común. Os cadrados de trinomio pódense factorizar mediante o cálculo das raíces cadradas dos termos primeiro e último.

$$factor(49v^{2}+112v+64)$$

Obtén o máximo común divisor dos coeficientes.

$$gcf(49,112,64)=1$$

Obtén a raíz cadrada do primeiro termo, 49v^{2}.

$$\sqrt{49v^{2}}=7v$$

Obtén a raíz cadrada do último termo, 64.

$$\sqrt{64}=8$$

O cadrado de trinomio é o cadrado de binomio que é a suma ou a diferenza das raíces cadradas dos termos primeiro e último, co signo determinado polo signo do termo central do cadrado de trinomio.

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$49v^{2}+112v+64=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$v=\frac{-112±\sqrt{112^{2}-4\times 49\times 64}}{2\times 49}$$

Eleva 112 ao cadrado.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-4\times 49\times 64}}{2\times 49}$$

Multiplica -4 por 49.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-196\times 64}}{2\times 49}$$

Multiplica -196 por 64.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-12544}}{2\times 49}$$

Suma 12544 a -12544.

$$v=\frac{-112±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$v=\frac{-112±0}{2\times 49}$$

Multiplica 2 por 49.

$$v=\frac{-112±0}{98}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe -\frac{8}{7} por x_{1} e -\frac{8}{7} por x_{2}.

$$49v^{2}+112v+64=49\left(v-\left(-\frac{8}{7}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{8}{7}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$49v^{2}+112v+64=49\left(v+\frac{8}{7}\right)\left(v+\frac{8}{7}\right)$$

Suma \frac{8}{7} a v mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{7v+8}{7}\left(v+\frac{8}{7}\right)$$

Suma \frac{8}{7} a v mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{7v+8}{7}\times \frac{7v+8}{7}$$

Multiplica \frac{7v+8}{7} por \frac{7v+8}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)}{7\times 7}$$

Multiplica 7 por 7.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)}{49}$$

Descarta o máximo común divisor 49 en 49 e 49.

$$49v^{2}+112v+64=\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)$$

Calcular

$$\left(7v+8\right)^{2}$$