Resolver 4y(y-1)+1=0

$$4 y ( y - 1 ) + 1 = 0$$

Resolver y

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4y por y-1.

$$4y^{2}-4y+1=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4y^{2}+ay+by+1. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

A solución é a parella que fornece a suma -4.

$$a=-2 b=-2$$

Reescribe 4y^{2}-4y+1 como \left(4y^{2}-2y\right)+\left(-2y+1\right).

$$\left(4y^{2}-2y\right)+\left(-2y+1\right)$$

Factoriza 2y no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$2y\left(2y-1\right)-\left(2y-1\right)$$

Factoriza o termo común 2y-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2y-1\right)\left(2y-1\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(2y-1\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve 2y-1=0.

$$y=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4y por y-1.

$$4y^{2}-4y+1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por -4 e c por 1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Eleva -4 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Suma 16 a -16.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$y=-\frac{-4}{2\times 4}$$

O contrario de -4 é 4.

$$y=\frac{4}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$y=\frac{4}{8}$$

Reduce a fracción \frac{4}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$y=\frac{1}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4y por y-1.

$$4y^{2}-4y+1=0$$

Resta 1 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$4y^{2}-4y=-1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=-\frac{1}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=-\frac{1}{4}$$

Divide -4 entre 4.

$$y^{2}-y=-\frac{1}{4}$$

Divide -1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Suma -\frac{1}{4} a \frac{1}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=0$$

Factoriza y^{2}-y+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$y-\frac{1}{2}=0 y-\frac{1}{2}=0$$

Suma \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{1}{2} y=\frac{1}{2}$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$y=\frac{1}{2}$$