Resolver 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Resolver x (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3.5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3.5-i$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por 28 e c por 53 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Eleva 28 ao cadrado.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Suma 784 a -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de -64.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-28±8i}{8} se ± é máis. Suma -28 a 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Divide -28+8i entre 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-28±8i}{8} se ± é menos. Resta 8i de -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Divide -28-8i entre 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

A ecuación está resolta.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Resta 53 en ambos lados da ecuación.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

Se restas 53 a si mesmo, quédache 0.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Divide 28 entre 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Divide 7, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{7}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{7}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Suma -\frac{53}{4} a \frac{49}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Factoriza x^{2}+7x+\frac{49}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Simplifica.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Resta \frac{7}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$