Resolver 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Resolver x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 21 en ambos lados.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Resta 21 de 1 para obter -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Divide ambos lados entre 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2x^{2}+ax+bx-10. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 1.

$$a=-4 b=5$$

Reescribe 2x^{2}+x-10 como \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Factoriza o termo común x-2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-2=0 e 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Se restas 21 a si mesmo, quédache 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Resta 21 de 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por 2 e c por -20 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 2 ao cadrado.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Suma 4 a 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-2±18}{8} se ± é máis. Suma -2 a 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Divide 16 entre 8.

$$x=2$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-2±18}{8} se ± é menos. Resta 18 de -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Reduce a fracción \frac{-20}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Se restas 1 a si mesmo, quédache 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Resta 1 de 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Reduce a fracción \frac{2}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Divide 20 entre 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Divide \frac{1}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{4}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Suma 5 a \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Factoriza x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Resta \frac{1}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$