Resolver 39x^2+14x-9=0

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

Resolver x

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0.692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 39x^{2}+ax+bx-9. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -351.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

A solución é a parella que fornece a suma 14.

$$a=-13 b=27$$

Reescribe 39x^{2}+14x-9 como \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right).

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

Factoriza 13x no primeiro e 9 no grupo segundo.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

Factoriza o termo común 3x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3x-1=0 e 13x+9=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 39, b por 14 e c por -9 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Eleva 14 ao cadrado.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Multiplica -4 por 39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Multiplica -156 por -9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

Suma 196 a 1404.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

Obtén a raíz cadrada de 1600.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

Multiplica 2 por 39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-14±40}{78} se ± é máis. Suma -14 a 40.

$$x=\frac{26}{78}$$

Reduce a fracción \frac{26}{78} a termos máis baixos extraendo e cancelando 26.

$$x=\frac{1}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-14±40}{78} se ± é menos. Resta 40 de -14.

$$x=-\frac{54}{78}$$

Reduce a fracción \frac{-54}{78} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=-\frac{9}{13}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Se restas -9 a si mesmo, quédache 0.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

Resta -9 de 0.

$$39x^{2}+14x=9$$

Divide ambos lados entre 39.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

A división entre 39 desfai a multiplicación por 39.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

Reduce a fracción \frac{9}{39} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

Divide \frac{14}{39}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{7}{39}. Despois, suma o cadrado de \frac{7}{39} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{39} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

Suma \frac{3}{13} a \frac{49}{1521} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

Factoriza x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

Resta \frac{7}{39} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$