Resolver 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Factorizar

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Pasos da solución

Multiplica e combina termos semellantes.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Para factorizar a expresión, resolve a ecuación onde é igual a 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Por Teorema da raíz racional, todas as raíces racionais dun polinomio están no formulario \frac{p}{q}, onde p divide o termo constante -16 e q divide o coeficiente primeiro 3. Listar todo os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Localizar esa raíz tentando todos os valores enteiros, comezando desde o menor por valor absoluto. Se non se encontran raíces enteiras, proba fraccións.

$$x=-4$$

Por Teorema do factor, x-k é un factor do polinomio para cada raíz k. Divide 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 entre x+4 para obter 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Para factorizar a expresión, resolve a ecuación onde é igual a 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Por Teorema da raíz racional, todas as raíces racionais dun polinomio están no formulario \frac{p}{q}, onde p divide o termo constante -4 e q divide o coeficiente primeiro 3. Listar todo os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Localizar esa raíz tentando todos os valores enteiros, comezando desde o menor por valor absoluto. Se non se encontran raíces enteiras, proba fraccións.

$$x=-4$$

Por Teorema do factor, x-k é un factor do polinomio para cada raíz k. Divide 3x^{3}+12x^{2}-x-4 entre x+4 para obter 3x^{2}-1. Para factorizar a expresión, resolve a ecuación onde é igual a 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 3 por a, 0 por b e -1 por c na fórmula cadrática.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Fai os cálculos.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Resolve a ecuación 3x^{2}-1=0 cando ± é máis e cando ± é menos.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Reescribe a expresión factorizada usando as raíces obtidas. O polinomio 3x^{2}-1 non está factorizado porque aínda que non ten ningunha raíz racional.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Calcular

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Pasos da solución

Combina 48x^{2} e -x^{2} para obter 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$