Resolver 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Resolver y

$$y=-\frac{21}{25}=-0.84$$

$$y=3$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 25y^{2}+ay+by-63. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

A solución é a parella que fornece a suma -54.

$$a=-75 b=21$$

Reescribe 25y^{2}-54y-63 como \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Factoriza 25y no primeiro e 21 no grupo segundo.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Factoriza o termo común y-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve y-3=0 e 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 25, b por -54 e c por -63 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Eleva -54 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Multiplica -4 por 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Multiplica -100 por -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Suma 2916 a 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Obtén a raíz cadrada de 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

O contrario de -54 é 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Multiplica 2 por 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{54±96}{50} se ± é máis. Suma 54 a 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Divide 150 entre 50.

$$y=3$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{54±96}{50} se ± é menos. Resta 96 de 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Reduce a fracción \frac{-42}{50} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

A ecuación está resolta.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Suma 63 en ambos lados da ecuación.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Se restas -63 a si mesmo, quédache 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Resta -63 de 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Divide ambos lados entre 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

A división entre 25 desfai a multiplicación por 25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Divide -\frac{54}{25}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{27}{25}. Despois, suma o cadrado de -\frac{27}{25} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{27}{25} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Suma \frac{63}{25} a \frac{729}{625} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Factoriza y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Simplifica.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Suma \frac{27}{25} en ambos lados da ecuación.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$