Resolver 24x^2+38x+15

$$24 x ^ { 2 } + 38 x + 15$$

Factorizar

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 24x^{2}+ax+bx+15. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=38 ab=24\times 15=360$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 360.

$$1,360 2,180 3,120 4,90 5,72 6,60 8,45 9,40 10,36 12,30 15,24 18,20$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+360=361 2+180=182 3+120=123 4+90=94 5+72=77 6+60=66 8+45=53 9+40=49 10+36=46 12+30=42 15+24=39 18+20=38$$

A solución é a parella que fornece a suma 38.

$$a=18 b=20$$

Reescribe 24x^{2}+38x+15 como \left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right).

$$\left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right)$$

Factoriza 6x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$6x\left(4x+3\right)+5\left(4x+3\right)$$

Factoriza o termo común 4x+3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+38x+15=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-38±\sqrt{38^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Eleva 38 ao cadrado.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Multiplica -4 por 24.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Multiplica -96 por 15.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Suma 1444 a -1440.

$$x=\frac{-38±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Obtén a raíz cadrada de 4.

$$x=\frac{-38±2}{2\times 24}$$

Multiplica 2 por 24.

$$x=\frac{-38±2}{48}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-38±2}{48} se ± é máis. Suma -38 a 2.

$$x=-\frac{36}{48}$$

Reduce a fracción \frac{-36}{48} a termos máis baixos extraendo e cancelando 12.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-38±2}{48} se ± é menos. Resta 2 de -38.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Reduce a fracción \frac{-40}{48} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe -\frac{3}{4} por x_{1} e -\frac{5}{6} por x_{2}.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{6}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

Suma \frac{3}{4} a x mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

Suma \frac{5}{6} a x mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\times \frac{6x+5}{6}$$

Multiplica \frac{4x+3}{4} por \frac{6x+5}{6} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{4\times 6}$$

Multiplica 4 por 6.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{24}$$

Descarta o máximo común divisor 24 en 24 e 24.

$$24x^{2}+38x+15=\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Calcular

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$