Resolver 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Resolver k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0.75$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Divide ambos lados entre 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 12k^{2}+ak+bk+12. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

A solución é a parella que fornece a suma 25.

$$a=9 b=16$$

Reescribe 12k^{2}+25k+12 como \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Factoriza 3k no primeiro e 4 no grupo segundo.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Factoriza o termo común 4k+3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 4k+3=0 e 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 24, b por 50 e c por 24 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Eleva 50 ao cadrado.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Multiplica -4 por 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Multiplica -96 por 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Suma 2500 a -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Obtén a raíz cadrada de 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Multiplica 2 por 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Agora resolve a ecuación k=\frac{-50±14}{48} se ± é máis. Suma -50 a 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Reduce a fracción \frac{-36}{48} a termos máis baixos extraendo e cancelando 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Agora resolve a ecuación k=\frac{-50±14}{48} se ± é menos. Resta 14 de -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Reduce a fracción \frac{-64}{48} a termos máis baixos extraendo e cancelando 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Se restas 24 a si mesmo, quédache 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Divide ambos lados entre 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

A división entre 24 desfai a multiplicación por 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Reduce a fracción \frac{50}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Divide -24 entre 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Divide \frac{25}{12}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{25}{24}. Despois, suma o cadrado de \frac{25}{24} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Eleva \frac{25}{24} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Suma -1 a \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Factoriza k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Simplifica.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Resta \frac{25}{24} en ambos lados da ecuación.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$