Resolver 23x^2+5x+3=0

$$23 x ^ { 2 } + 5 x + 3 = 0$$

Resolver x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}\approx -0.108695652+0.344412598i$$

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}\approx -0.108695652-0.344412598i$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$23x^{2}+5x+3=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 23, b por 5 e c por 3 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

Eleva 5 ao cadrado.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

Multiplica -4 por 23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-92\times 3}}{2\times 23}$$

Multiplica -92 por 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-276}}{2\times 23}$$

Suma 25 a -276.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-251}}{2\times 23}$$

Obtén a raíz cadrada de -251.

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{2\times 23}$$

Multiplica 2 por 23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} se ± é máis. Suma -5 a i\sqrt{251}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} se ± é menos. Resta i\sqrt{251} de -5.

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$23x^{2}+5x+3=0$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$23x^{2}+5x+3-3=-3$$

Se restas 3 a si mesmo, quédache 0.

$$23x^{2}+5x=-3$$

Divide ambos lados entre 23.

$$\frac{23x^{2}+5x}{23}=-\frac{3}{23}$$

A división entre 23 desfai a multiplicación por 23.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x=-\frac{3}{23}$$

Divide \frac{5}{23}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{5}{46}. Despois, suma o cadrado de \frac{5}{46} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{3}{23}+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{46} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{3}{23}+\frac{25}{2116}$$

Suma -\frac{3}{23} a \frac{25}{2116} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{251}{2116}$$

Factoriza x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{251}{2116}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{251}{2116}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{5}{46}=\frac{\sqrt{251}i}{46} x+\frac{5}{46}=-\frac{\sqrt{251}i}{46}$$

Resta \frac{5}{46} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$