Resolver 200n^2+30n+1

$$200 n ^ { 2 } + 30 n + 1$$

Factorizar

$$\left(10n+1\right)\left(20n+1\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 200n^{2}+an+bn+1. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=30 ab=200\times 1=200$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 200.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

A solución é a parella que fornece a suma 30.

$$a=10 b=20$$

Reescribe 200n^{2}+30n+1 como \left(200n^{2}+10n\right)+\left(20n+1\right).

$$\left(200n^{2}+10n\right)+\left(20n+1\right)$$

Factorizar 10n en 200n^{2}+10n.

$$10n\left(20n+1\right)+20n+1$$

Factoriza o termo común 20n+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(20n+1\right)\left(10n+1\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$200n^{2}+30n+1=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$n=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 200}}{2\times 200}$$

Eleva 30 ao cadrado.

$$n=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 200}}{2\times 200}$$

Multiplica -4 por 200.

$$n=\frac{-30±\sqrt{900-800}}{2\times 200}$$

Suma 900 a -800.

$$n=\frac{-30±\sqrt{100}}{2\times 200}$$

Obtén a raíz cadrada de 100.

$$n=\frac{-30±10}{2\times 200}$$

Multiplica 2 por 200.

$$n=\frac{-30±10}{400}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{-30±10}{400} se ± é máis. Suma -30 a 10.

$$n=-\frac{20}{400}$$

Reduce a fracción \frac{-20}{400} a termos máis baixos extraendo e cancelando 20.

$$n=-\frac{1}{20}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{-30±10}{400} se ± é menos. Resta 10 de -30.

$$n=-\frac{40}{400}$$

Reduce a fracción \frac{-40}{400} a termos máis baixos extraendo e cancelando 40.

$$n=-\frac{1}{10}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe -\frac{1}{20} por x_{1} e -\frac{1}{10} por x_{2}.

$$200n^{2}+30n+1=200\left(n-\left(-\frac{1}{20}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{1}{10}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$200n^{2}+30n+1=200\left(n+\frac{1}{20}\right)\left(n+\frac{1}{10}\right)$$

Suma \frac{1}{20} a n mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$200n^{2}+30n+1=200\times \frac{20n+1}{20}\left(n+\frac{1}{10}\right)$$

Suma \frac{1}{10} a n mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$200n^{2}+30n+1=200\times \frac{20n+1}{20}\times \frac{10n+1}{10}$$

Multiplica \frac{20n+1}{20} por \frac{10n+1}{10} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$200n^{2}+30n+1=200\times \frac{\left(20n+1\right)\left(10n+1\right)}{20\times 10}$$

Multiplica 20 por 10.

$$200n^{2}+30n+1=200\times \frac{\left(20n+1\right)\left(10n+1\right)}{200}$$

Descarta o máximo común divisor 200 en 200 e 200.

$$200n^{2}+30n+1=\left(20n+1\right)\left(10n+1\right)$$

Calcular

$$\left(10n+1\right)\left(20n+1\right)$$