Resolver 2y^2+y-21=0

$$2 y ^ { 2 } + y - 21 = 0$$

Resolver y

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$y=3$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2y^{2}+ay+by-21. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=1 ab=2\left(-21\right)=-42$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 1.

$$a=-6 b=7$$

Reescribe 2y^{2}+y-21 como \left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right).

$$\left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right)$$

Factoriza 2y no primeiro e 7 no grupo segundo.

$$2y\left(y-3\right)+7\left(y-3\right)$$

Factoriza o termo común y-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(y-3\right)\left(2y+7\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve y-3=0 e 2y+7=0.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2y^{2}+y-21=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por 1 e c por -21 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 1 ao cadrado.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por -21.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 2}$$

Suma 1 a 168.

$$y=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 169.

$$y=\frac{-1±13}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$y=\frac{-1±13}{4}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-1±13}{4} se ± é máis. Suma -1 a 13.

$$y=\frac{12}{4}$$

Divide 12 entre 4.

$$y=3$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-1±13}{4} se ± é menos. Resta 13 de -1.

$$y=-\frac{14}{4}$$

Reduce a fracción \frac{-14}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+y-21=0$$

Suma 21 en ambos lados da ecuación.

$$2y^{2}+y-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Se restas -21 a si mesmo, quédache 0.

$$2y^{2}+y=-\left(-21\right)$$

Resta -21 de 0.

$$2y^{2}+y=21$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{21}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{21}{2}$$

Divide \frac{1}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{4}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{21}{2}+\frac{1}{16}$$

Suma \frac{21}{2} a \frac{1}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{169}{16}$$

Factoriza y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplifica.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{13}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{13}{4}$$

Resta \frac{1}{4} en ambos lados da ecuación.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$