Resolver 2t^2-9t+9=0

$$2 t ^ { 2 } - 9 t + 9 = 0$$

Resolver t

$$t = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$t=3$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2t^{2}+at+bt+9. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-9 ab=2\times 9=18$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 18.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

A solución é a parella que fornece a suma -9.

$$a=-6 b=-3$$

Reescribe 2t^{2}-9t+9 como \left(2t^{2}-6t\right)+\left(-3t+9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(-3t+9\right)$$

Factoriza 2t no primeiro e -3 no grupo segundo.

$$2t\left(t-3\right)-3\left(t-3\right)$$

Factoriza o termo común t-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(t-3\right)\left(2t-3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve t-3=0 e 2t-3=0.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2t^{2}-9t+9=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por -9 e c por 9 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Eleva -9 ao cadrado.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 9}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por 9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72}}{2\times 2}$$

Suma 81 a -72.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±3}{2\times 2}$$

O contrario de -9 é 9.

$$t=\frac{9±3}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$t=\frac{9±3}{4}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{9±3}{4} se ± é máis. Suma 9 a 3.

$$t=\frac{12}{4}$$

Divide 12 entre 4.

$$t=3$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{9±3}{4} se ± é menos. Resta 3 de 9.

$$t=\frac{6}{4}$$

Reduce a fracción \frac{6}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$t=\frac{3}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-9t+9=0$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$2t^{2}-9t+9-9=-9$$

Se restas 9 a si mesmo, quédache 0.

$$2t^{2}-9t=-9$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2t^{2}-9t}{2}=-\frac{9}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t=-\frac{9}{2}$$

Divide -\frac{9}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{9}{4}. Despois, suma o cadrado de -\frac{9}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{9}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Suma -\frac{9}{2} a \frac{81}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Factoriza t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifica.

$$t-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} t-\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Suma \frac{9}{4} en ambos lados da ecuación.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$