Resolver 2x^2+13x-24=0

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

Resolver x

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2x^{2}+ax+bx-24. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

A solución é a parella que fornece a suma 13.

$$a=-3 b=16$$

Reescribe 2x^{2}+13x-24 como \left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

Factoriza x no primeiro e 8 no grupo segundo.

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

Factoriza o termo común 2x-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-3=0 e x+8=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por 13 e c por -24 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 13 ao cadrado.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por -24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

Suma 169 a 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-13±19}{4} se ± é máis. Suma -13 a 19.

$$x=\frac{6}{4}$$

Reduce a fracción \frac{6}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-13±19}{4} se ± é menos. Resta 19 de -13.

$$x=-\frac{32}{4}$$

Divide -32 entre 4.

$$x=-8$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Se restas -24 a si mesmo, quédache 0.

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

Resta -24 de 0.

$$2x^{2}+13x=24$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

Divide 24 entre 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

Divide \frac{13}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{13}{4}. Despois, suma o cadrado de \frac{13}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{13}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Suma 12 a \frac{169}{16}.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Factoriza x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Resta \frac{13}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$