Resolver 14y^2+37y+24

$$14 { y }^{ 2 } +37y+24$$

Factorizar

$$\left(2y+3\right)\left(7y+8\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 14y^{2}+ay+by+24. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=37 ab=14\times 24=336$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 336.

$$1,336 2,168 3,112 4,84 6,56 7,48 8,42 12,28 14,24 16,21$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+336=337 2+168=170 3+112=115 4+84=88 6+56=62 7+48=55 8+42=50 12+28=40 14+24=38 16+21=37$$

A solución é a parella que fornece a suma 37.

$$a=16 b=21$$

Reescribe 14y^{2}+37y+24 como \left(14y^{2}+16y\right)+\left(21y+24\right).

$$\left(14y^{2}+16y\right)+\left(21y+24\right)$$

Factoriza 2y no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$2y\left(7y+8\right)+3\left(7y+8\right)$$

Factoriza o termo común 7y+8 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(7y+8\right)\left(2y+3\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$14y^{2}+37y+24=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$y=\frac{-37±\sqrt{37^{2}-4\times 14\times 24}}{2\times 14}$$

Eleva 37 ao cadrado.

$$y=\frac{-37±\sqrt{1369-4\times 14\times 24}}{2\times 14}$$

Multiplica -4 por 14.

$$y=\frac{-37±\sqrt{1369-56\times 24}}{2\times 14}$$

Multiplica -56 por 24.

$$y=\frac{-37±\sqrt{1369-1344}}{2\times 14}$$

Suma 1369 a -1344.

$$y=\frac{-37±\sqrt{25}}{2\times 14}$$

Obtén a raíz cadrada de 25.

$$y=\frac{-37±5}{2\times 14}$$

Multiplica 2 por 14.

$$y=\frac{-37±5}{28}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-37±5}{28} se ± é máis. Suma -37 a 5.

$$y=-\frac{32}{28}$$

Reduce a fracción \frac{-32}{28} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$y=-\frac{8}{7}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-37±5}{28} se ± é menos. Resta 5 de -37.

$$y=-\frac{42}{28}$$

Reduce a fracción \frac{-42}{28} a termos máis baixos extraendo e cancelando 14.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe -\frac{8}{7} por x_{1} e -\frac{3}{2} por x_{2}.

$$14y^{2}+37y+24=14\left(y-\left(-\frac{8}{7}\right)\right)\left(y-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$14y^{2}+37y+24=14\left(y+\frac{8}{7}\right)\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Suma \frac{8}{7} a y mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$14y^{2}+37y+24=14\times \frac{7y+8}{7}\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Suma \frac{3}{2} a y mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$14y^{2}+37y+24=14\times \frac{7y+8}{7}\times \frac{2y+3}{2}$$

Multiplica \frac{7y+8}{7} por \frac{2y+3}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$14y^{2}+37y+24=14\times \frac{\left(7y+8\right)\left(2y+3\right)}{7\times 2}$$

Multiplica 7 por 2.

$$14y^{2}+37y+24=14\times \frac{\left(7y+8\right)\left(2y+3\right)}{14}$$

Descarta o máximo común divisor 14 en 14 e 14.

$$14y^{2}+37y+24=\left(7y+8\right)\left(2y+3\right)$$

Calcular

$$\left(2y+3\right)\left(7y+8\right)$$