Resolver 121n^2-95n=13596

$$121 n ^ { 2 } - 95 n = 13596$$

Resolver n

$$n = -\frac{1236}{121} = -10\frac{26}{121} \approx -10.214876033$$

$$n=11$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 13596 en ambos lados.

$$121n^{2}-95n-13596=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 121n^{2}+an+bn-13596. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-95 ab=121\left(-13596\right)=-1645116$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -1645116.

$$1,-1645116 2,-822558 3,-548372 4,-411279 6,-274186 11,-149556 12,-137093 22,-74778 33,-49852 44,-37389 66,-24926 103,-15972 121,-13596 132,-12463 206,-7986 242,-6798 309,-5324 363,-4532 412,-3993 484,-3399 618,-2662 726,-2266 1133,-1452 1236,-1331$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-1645116=-1645115 2-822558=-822556 3-548372=-548369 4-411279=-411275 6-274186=-274180 11-149556=-149545 12-137093=-137081 22-74778=-74756 33-49852=-49819 44-37389=-37345 66-24926=-24860 103-15972=-15869 121-13596=-13475 132-12463=-12331 206-7986=-7780 242-6798=-6556 309-5324=-5015 363-4532=-4169 412-3993=-3581 484-3399=-2915 618-2662=-2044 726-2266=-1540 1133-1452=-319 1236-1331=-95$$

A solución é a parella que fornece a suma -95.

$$a=-1331 b=1236$$

Reescribe 121n^{2}-95n-13596 como \left(121n^{2}-1331n\right)+\left(1236n-13596\right).

$$\left(121n^{2}-1331n\right)+\left(1236n-13596\right)$$

Factoriza 121n no primeiro e 1236 no grupo segundo.

$$121n\left(n-11\right)+1236\left(n-11\right)$$

Factoriza o termo común n-11 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(n-11\right)\left(121n+1236\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve n-11=0 e 121n+1236=0.

$$n=11 n=-\frac{1236}{121}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$121n^{2}-95n=13596$$

Resta 13596 en ambos lados da ecuación.

$$121n^{2}-95n-13596=13596-13596$$

Se restas 13596 a si mesmo, quédache 0.

$$121n^{2}-95n-13596=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 121, b por -95 e c por -13596 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-95\right)±\sqrt{\left(-95\right)^{2}-4\times 121\left(-13596\right)}}{2\times 121}$$

Eleva -95 ao cadrado.

$$n=\frac{-\left(-95\right)±\sqrt{9025-4\times 121\left(-13596\right)}}{2\times 121}$$

Multiplica -4 por 121.

$$n=\frac{-\left(-95\right)±\sqrt{9025-484\left(-13596\right)}}{2\times 121}$$

Multiplica -484 por -13596.

$$n=\frac{-\left(-95\right)±\sqrt{9025+6580464}}{2\times 121}$$

Suma 9025 a 6580464.

$$n=\frac{-\left(-95\right)±\sqrt{6589489}}{2\times 121}$$

Obtén a raíz cadrada de 6589489.

$$n=\frac{-\left(-95\right)±2567}{2\times 121}$$

O contrario de -95 é 95.

$$n=\frac{95±2567}{2\times 121}$$

Multiplica 2 por 121.

$$n=\frac{95±2567}{242}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{95±2567}{242} se ± é máis. Suma 95 a 2567.

$$n=\frac{2662}{242}$$

Divide 2662 entre 242.

$$n=11$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{95±2567}{242} se ± é menos. Resta 2567 de 95.

$$n=-\frac{2472}{242}$$

Reduce a fracción \frac{-2472}{242} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$n=-\frac{1236}{121}$$

A ecuación está resolta.

$$n=11 n=-\frac{1236}{121}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$121n^{2}-95n=13596$$

Divide ambos lados entre 121.

$$\frac{121n^{2}-95n}{121}=\frac{13596}{121}$$

A división entre 121 desfai a multiplicación por 121.

$$n^{2}-\frac{95}{121}n=\frac{13596}{121}$$

Reduce a fracción \frac{13596}{121} a termos máis baixos extraendo e cancelando 11.

$$n^{2}-\frac{95}{121}n=\frac{1236}{11}$$

Divide -\frac{95}{121}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{95}{242}. Despois, suma o cadrado de -\frac{95}{242} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}-\frac{95}{121}n+\left(-\frac{95}{242}\right)^{2}=\frac{1236}{11}+\left(-\frac{95}{242}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{95}{242} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}-\frac{95}{121}n+\frac{9025}{58564}=\frac{1236}{11}+\frac{9025}{58564}$$

Suma \frac{1236}{11} a \frac{9025}{58564} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$n^{2}-\frac{95}{121}n+\frac{9025}{58564}=\frac{6589489}{58564}$$

Factoriza n^{2}-\frac{95}{121}n+\frac{9025}{58564}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{95}{242}\right)^{2}=\frac{6589489}{58564}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{95}{242}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6589489}{58564}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{95}{242}=\frac{2567}{242} n-\frac{95}{242}=-\frac{2567}{242}$$

Suma \frac{95}{242} en ambos lados da ecuación.

$$n=11 n=-\frac{1236}{121}$$