Resolver 12x^2+17x-7=0

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

Resolver x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 12x^{2}+ax+bx-7. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

A solución é a parella que fornece a suma 17.

$$a=-4 b=21$$

Reescribe 12x^{2}+17x-7 como \left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

Factoriza 4x no primeiro e 7 no grupo segundo.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Factoriza o termo común 3x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3x-1=0 e 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 12, b por 17 e c por -7 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Eleva 17 ao cadrado.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Multiplica -4 por 12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Multiplica -48 por -7.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

Suma 289 a 336.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Obtén a raíz cadrada de 625.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

Multiplica 2 por 12.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-17±25}{24} se ± é máis. Suma -17 a 25.

$$x=\frac{8}{24}$$

Reduce a fracción \frac{8}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-17±25}{24} se ± é menos. Resta 25 de -17.

$$x=-\frac{42}{24}$$

Reduce a fracción \frac{-42}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=-\frac{7}{4}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Suma 7 en ambos lados da ecuación.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Se restas -7 a si mesmo, quédache 0.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

Resta -7 de 0.

$$12x^{2}+17x=7$$

Divide ambos lados entre 12.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

A división entre 12 desfai a multiplicación por 12.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

Divide \frac{17}{12}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{17}{24}. Despois, suma o cadrado de \frac{17}{24} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

Eleva \frac{17}{24} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

Suma \frac{7}{12} a \frac{289}{576} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

Factoriza x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

Resta \frac{17}{24} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$