Resolver 12x^2+36x+27=0

$$12 { x }^{ 2 } +36x+27=0$$

Resolver x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Divide ambos lados entre 3.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4x^{2}+ax+bx+9. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

A solución é a parella que fornece a suma 12.

$$a=6 b=6$$

Reescribe 4x^{2}+12x+9 como \left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Factoriza o termo común 2x+3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve 2x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 12, b por 36 e c por 27 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Eleva 36 ao cadrado.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Multiplica -4 por 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\times 27}}{2\times 12}$$

Multiplica -48 por 27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 12}$$

Suma 1296 a -1296.

$$x=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$x=-\frac{36}{2\times 12}$$

Multiplica 2 por 12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Reduce a fracción \frac{-36}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 12.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Resta 27 en ambos lados da ecuación.

$$12x^{2}+36x+27-27=-27$$

Se restas 27 a si mesmo, quédache 0.

$$12x^{2}+36x=-27$$

Divide ambos lados entre 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=-\frac{27}{12}$$

A división entre 12 desfai a multiplicación por 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=-\frac{27}{12}$$

Divide 36 entre 12.

$$x^{2}+3x=-\frac{27}{12}$$

Reduce a fracción \frac{-27}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

Divide 3, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{3}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Suma -\frac{9}{4} a \frac{9}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

Factoriza x^{2}+3x+\frac{9}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$x=-\frac{3}{2}$$