Resolver 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Resolver para x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

Para resolver a desigualdade, factoriza o lado esquerdo. O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 11 por a, -9 por b e 1 por c na fórmula cadrática.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Fai os cálculos.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Resolve a ecuación x=\frac{9±\sqrt{37}}{22} cando ± é máis e cando ± é menos.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Reescribe a desigualdade utilizando as solucións obtidas.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

Para que o produto sexa positivo, x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} e x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} teñen que ser ambos os dous positivos ou negativos. Considera o caso cando x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} e x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} son os dous negativos.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

A solución que satisfai ambas as dúas desigualdades é x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Considera o caso cando x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} e x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} son os dous positivos.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

A solución que satisfai ambas as dúas desigualdades é x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

A solución final é a unión das solucións obtidas.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$