Resolver 10x^2-7x-12

$$10 x ^ { 2 } - 7 x - 12$$

Factorizar

$$\left(2x-3\right)\left(5x+4\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 10x^{2}+ax+bx-12. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

A solución é a parella que fornece a suma -7.

$$a=-15 b=8$$

Reescribe 10x^{2}-7x-12 como \left(10x^{2}-15x\right)+\left(8x-12\right).

$$\left(10x^{2}-15x\right)+\left(8x-12\right)$$

Factoriza 5x no primeiro e 4 no grupo segundo.

$$5x\left(2x-3\right)+4\left(2x-3\right)$$

Factoriza o termo común 2x-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(5x+4\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$10x^{2}-7x-12=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Eleva -7 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multiplica -4 por 10.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multiplica -40 por -12.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Suma 49 a 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Obtén a raíz cadrada de 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 10}$$

O contrario de -7 é 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 10}$$

Multiplica 2 por 10.

$$x=\frac{7±23}{20}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{7±23}{20} se ± é máis. Suma 7 a 23.

$$x=\frac{30}{20}$$

Reduce a fracción \frac{30}{20} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$x=\frac{3}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{7±23}{20} se ± é menos. Resta 23 de 7.

$$x=-\frac{16}{20}$$

Reduce a fracción \frac{-16}{20} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{3}{2} por x_{1} e -\frac{4}{5} por x_{2}.

$$10x^{2}-7x-12=10\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$10x^{2}-7x-12=10\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Resta \frac{3}{2} de x mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$10x^{2}-7x-12=10\times \frac{2x-3}{2}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Suma \frac{4}{5} a x mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$10x^{2}-7x-12=10\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{5x+4}{5}$$

Multiplica \frac{2x-3}{2} por \frac{5x+4}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$10x^{2}-7x-12=10\times \frac{\left(2x-3\right)\left(5x+4\right)}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$10x^{2}-7x-12=10\times \frac{\left(2x-3\right)\left(5x+4\right)}{10}$$

Descarta o máximo común divisor 10 en 10 e 10.

$$10x^{2}-7x-12=\left(2x-3\right)\left(5x+4\right)$$

Calcular

$$\left(2x-3\right)\left(5x+4\right)$$