Resolver 10y^2+19y+6

$$10 { y }^{ 2 } +19y+6$$

Factorizar

$$\left(2y+3\right)\left(5y+2\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 10y^{2}+ay+by+6. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=19 ab=10\times 6=60$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

A solución é a parella que fornece a suma 19.

$$a=4 b=15$$

Reescribe 10y^{2}+19y+6 como \left(10y^{2}+4y\right)+\left(15y+6\right).

$$\left(10y^{2}+4y\right)+\left(15y+6\right)$$

Factoriza 2y no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$2y\left(5y+2\right)+3\left(5y+2\right)$$

Factoriza o termo común 5y+2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$10y^{2}+19y+6=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$y=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 10\times 6}}{2\times 10}$$

Eleva 19 ao cadrado.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 10\times 6}}{2\times 10}$$

Multiplica -4 por 10.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-40\times 6}}{2\times 10}$$

Multiplica -40 por 6.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-240}}{2\times 10}$$

Suma 361 a -240.

$$y=\frac{-19±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Obtén a raíz cadrada de 121.

$$y=\frac{-19±11}{2\times 10}$$

Multiplica 2 por 10.

$$y=\frac{-19±11}{20}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-19±11}{20} se ± é máis. Suma -19 a 11.

$$y=-\frac{8}{20}$$

Reduce a fracción \frac{-8}{20} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-19±11}{20} se ± é menos. Resta 11 de -19.

$$y=-\frac{30}{20}$$

Reduce a fracción \frac{-30}{20} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe -\frac{2}{5} por x_{1} e -\frac{3}{2} por x_{2}.

$$10y^{2}+19y+6=10\left(y-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(y-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$10y^{2}+19y+6=10\left(y+\frac{2}{5}\right)\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Suma \frac{2}{5} a y mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{5y+2}{5}\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Suma \frac{3}{2} a y mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{5y+2}{5}\times \frac{2y+3}{2}$$

Multiplica \frac{5y+2}{5} por \frac{2y+3}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)}{5\times 2}$$

Multiplica 5 por 2.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)}{10}$$

Descarta o máximo común divisor 10 en 10 e 10.

$$10y^{2}+19y+6=\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)$$

Calcular

$$\left(2y+3\right)\left(5y+2\right)$$