Resolver -51t+49t^2=105

$$-51t+49 { t }^{ 2 } = 105$$

Resolver t

$$t = \frac{\sqrt{23181} + 51}{98} \approx 2.074011008$$

$$t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}\approx -1.033194681$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$49t^{2}-51t=105$$

Resta 105 en ambos lados da ecuación.

$$49t^{2}-51t-105=105-105$$

Se restas 105 a si mesmo, quédache 0.

$$49t^{2}-51t-105=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 49, b por -51 e c por -105 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{\left(-51\right)^{2}-4\times 49\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Eleva -51 ao cadrado.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601-4\times 49\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Multiplica -4 por 49.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601-196\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Multiplica -196 por -105.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601+20580}}{2\times 49}$$

Suma 2601 a 20580.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{23181}}{2\times 49}$$

O contrario de -51 é 51.

$$t=\frac{51±\sqrt{23181}}{2\times 49}$$

Multiplica 2 por 49.

$$t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98} se ± é máis. Suma 51 a \sqrt{23181}.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98} se ± é menos. Resta \sqrt{23181} de 51.

$$t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$

A ecuación está resolta.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98} t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-51t=105$$

Divide ambos lados entre 49.

$$\frac{49t^{2}-51t}{49}=\frac{105}{49}$$

A división entre 49 desfai a multiplicación por 49.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t=\frac{105}{49}$$

Reduce a fracción \frac{105}{49} a termos máis baixos extraendo e cancelando 7.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t=\frac{15}{7}$$

Divide -\frac{51}{49}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{51}{98}. Despois, suma o cadrado de -\frac{51}{98} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\left(-\frac{51}{98}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{51}{98}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{51}{98} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}=\frac{15}{7}+\frac{2601}{9604}$$

Suma \frac{15}{7} a \frac{2601}{9604} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}=\frac{23181}{9604}$$

Factoriza t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{51}{98}\right)^{2}=\frac{23181}{9604}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(t-\frac{51}{98}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{23181}{9604}}$$

Simplifica.

$$t-\frac{51}{98}=\frac{\sqrt{23181}}{98} t-\frac{51}{98}=-\frac{\sqrt{23181}}{98}$$

Suma \frac{51}{98} en ambos lados da ecuación.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98} t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$