Resolver -x^2+16x=48

$$- x ^ { 2 } + 16 x = 48$$

Resolver x

$$x=4$$

$$x=12$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 48 en ambos lados.

$$-x^{2}+16x-48=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx-48. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=16 ab=-\left(-48\right)=48$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 48.

$$1,48 2,24 3,16 4,12 6,8$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+48=49 2+24=26 3+16=19 4+12=16 6+8=14$$

A solución é a parella que fornece a suma 16.

$$a=12 b=4$$

Reescribe -x^{2}+16x-48 como \left(-x^{2}+12x\right)+\left(4x-48\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(4x-48\right)$$

Factoriza -x no primeiro e 4 no grupo segundo.

$$-x\left(x-12\right)+4\left(x-12\right)$$

Factoriza o termo común x-12 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(-x+4\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-12=0 e -x+4=0.

$$x=12 x=4$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-x^{2}+16x=48$$

Resta 48 en ambos lados da ecuación.

$$-x^{2}+16x-48=48-48$$

Se restas 48 a si mesmo, quédache 0.

$$-x^{2}+16x-48=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por 16 e c por -48 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-1\right)\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 16 ao cadrado.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-1\right)\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+4\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por -48.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-192}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 256 a -192.

$$x=\frac{-16±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 64.

$$x=\frac{-16±8}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-16±8}{-2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-16±8}{-2} se ± é máis. Suma -16 a 8.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Divide -8 entre -2.

$$x=4$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-16±8}{-2} se ± é menos. Resta 8 de -16.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Divide -24 entre -2.

$$x=12$$

A ecuación está resolta.

$$x=4 x=12$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+16x=48$$

Divide ambos lados entre -1.

$$\frac{-x^{2}+16x}{-1}=\frac{48}{-1}$$

A división entre -1 desfai a multiplicación por -1.

$$x^{2}+\frac{16}{-1}x=\frac{48}{-1}$$

Divide 16 entre -1.

$$x^{2}-16x=\frac{48}{-1}$$

Divide 48 entre -1.

$$x^{2}-16x=-48$$

Divide -16, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -8. Despois, suma o cadrado de -8 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-48+\left(-8\right)^{2}$$

Eleva -8 ao cadrado.

$$x^{2}-16x+64=-48+64$$

Suma -48 a 64.

$$x^{2}-16x+64=16$$

Factoriza x^{2}-16x+64. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-8\right)^{2}=16$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplifica.

$$x-8=4 x-8=-4$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$x=12 x=4$$