Resolver -4n^2+10n+1=8

$$- 4 n ^ { 2 } + 10 n + 1 = 8$$

Resolver n

$$n=\frac{-\sqrt{3}i+5}{4}\approx 1.25-0.433012702i$$

$$n=\frac{5+\sqrt{3}i}{4}\approx 1.25+0.433012702i$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-4n^{2}+10n+1=8$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$-4n^{2}+10n+1-8=8-8$$

Se restas 8 a si mesmo, quédache 0.

$$-4n^{2}+10n+1-8=0$$

Resta 8 de 1.

$$-4n^{2}+10n-7=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -4, b por 10 e c por -7 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-4\right)\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Eleva 10 ao cadrado.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-4\right)\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica -4 por -4.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+16\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica 16 por -7.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-112}}{2\left(-4\right)}$$

Suma 100 a -112.

$$n=\frac{-10±\sqrt{-12}}{2\left(-4\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de -12.

$$n=\frac{-10±2\sqrt{3}i}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica 2 por -4.

$$n=\frac{-10±2\sqrt{3}i}{-8}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{-10±2\sqrt{3}i}{-8} se ± é máis. Suma -10 a 2i\sqrt{3}.

$$n=\frac{-10+2\sqrt{3}i}{-8}$$

Divide -10+2i\sqrt{3} entre -8.

$$n=\frac{-\sqrt{3}i+5}{4}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{-10±2\sqrt{3}i}{-8} se ± é menos. Resta 2i\sqrt{3} de -10.

$$n=\frac{-2\sqrt{3}i-10}{-8}$$

Divide -10-2i\sqrt{3} entre -8.

$$n=\frac{5+\sqrt{3}i}{4}$$

A ecuación está resolta.

$$n=\frac{-\sqrt{3}i+5}{4} n=\frac{5+\sqrt{3}i}{4}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-4n^{2}+10n+1=8$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-4n^{2}+10n+1-1=8-1$$

Se restas 1 a si mesmo, quédache 0.

$$-4n^{2}+10n=8-1$$

Resta 1 de 8.

$$-4n^{2}+10n=7$$

Divide ambos lados entre -4.

$$\frac{-4n^{2}+10n}{-4}=\frac{7}{-4}$$

A división entre -4 desfai a multiplicación por -4.

$$n^{2}+\frac{10}{-4}n=\frac{7}{-4}$$

Reduce a fracción \frac{10}{-4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n=\frac{7}{-4}$$

Divide 7 entre -4.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n=-\frac{7}{4}$$

Divide -\frac{5}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{5}{4}. Despois, suma o cadrado de -\frac{5}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n+\frac{25}{16}=-\frac{7}{4}+\frac{25}{16}$$

Suma -\frac{7}{4} a \frac{25}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n+\frac{25}{16}=-\frac{3}{16}$$

Factoriza n^{2}-\frac{5}{2}n+\frac{25}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{16}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{3}i}{4} n-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{3}i}{4}$$

Suma \frac{5}{4} en ambos lados da ecuación.

$$n=\frac{5+\sqrt{3}i}{4} n=\frac{-\sqrt{3}i+5}{4}$$