Resolver (3x+1)^2-5(x+1)(x-1)=8-x

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } - 5 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 8 - x$$

Resolver x

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Resta 8 en ambos lados.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Engadir x en ambos lados.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5x-5 por x-1 e combina os termos semellantes.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Combina 9x^{2} e -5x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

Suma 1 e 5 para obter 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Resta 8 de 6 para obter -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Combina 6x e x para obter 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4x^{2}+ax+bx-2. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

A solución é a parella que fornece a suma 7.

$$a=-1 b=8$$

Reescribe 4x^{2}+7x-2 como \left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right).

$$\left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right)$$

Factoriza x no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$x\left(4x-1\right)+2\left(4x-1\right)$$

Factoriza o termo común 4x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(4x-1\right)\left(x+2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 4x-1=0 e x+2=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Resta 8 en ambos lados.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Engadir x en ambos lados.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5x-5 por x-1 e combina os termos semellantes.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Combina 9x^{2} e -5x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

Suma 1 e 5 para obter 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Resta 8 de 6 para obter -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Combina 6x e x para obter 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por 7 e c por -2 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 7 ao cadrado.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

Suma 49 a 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{-7±9}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-7±9}{8} se ± é máis. Suma -7 a 9.

$$x=\frac{2}{8}$$

Reduce a fracción \frac{2}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-7±9}{8} se ± é menos. Resta 9 de -7.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Divide -16 entre 8.

$$x=-2$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Pasos para completar o cadrado

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Engadir x en ambos lados.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5x-5 por x-1 e combina os termos semellantes.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5+x=8$$

Combina 9x^{2} e -5x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5+x=8$$

Suma 1 e 5 para obter 6.

$$4x^{2}+6x+6+x=8$$

Combina 6x e x para obter 7x.

$$4x^{2}+7x+6=8$$

Resta 6 en ambos lados.

$$4x^{2}+7x=8-6$$

Resta 6 de 8 para obter 2.

$$4x^{2}+7x=2$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{2}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{2}{4}$$

Reduce a fracción \frac{2}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{2}$$

Divide \frac{7}{4}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{7}{8}. Despois, suma o cadrado de \frac{7}{8} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{8} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{2}+\frac{49}{64}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{49}{64} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{81}{64}$$

Factoriza x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{9}{8}$$

Resta \frac{7}{8} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$