Resolver (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Resolver r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2.22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20.22497216$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Suma 9 e 225 para obter 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Combina 6r e 30r para obter 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Combina r^{2} e r^{2} para obter 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Calcula 18 á potencia de 2 e obtén 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Resta 324 en ambos lados.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

Resta 324 de 234 para obter -90.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por 36 e c por -90 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 36 ao cadrado.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Suma 1296 a 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 2016.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Agora resolve a ecuación r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} se ± é máis. Suma -36 a 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Divide -36+12\sqrt{14} entre 4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Agora resolve a ecuación r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} se ± é menos. Resta 12\sqrt{14} de -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Divide -36-12\sqrt{14} entre 4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

A ecuación está resolta.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Pasos para completar o cadrado

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Suma 9 e 225 para obter 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Combina 6r e 30r para obter 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Combina r^{2} e r^{2} para obter 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Calcula 18 á potencia de 2 e obtén 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Resta 234 en ambos lados.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

Resta 234 de 324 para obter 90.

$$36r+2r^{2}=90$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+36r=90$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Divide 36 entre 2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Divide 90 entre 2.

$$r^{2}+18r=45$$

Divide 18, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter 9. Despois, suma o cadrado de 9 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

Eleva 9 ao cadrado.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Suma 45 a 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Factoriza r^{2}+18r+81. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Simplifica.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$