Resolver (3+2y)^2+2y^2=3

$$( 3 + 2 y ) ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 3$$

Resolver y

$$y=-1$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Combina 4y^{2} e 2y^{2} para obter 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Resta 3 en ambos lados.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Resta 3 de 9 para obter 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Divide ambos lados entre 6.

$$1+2y+y^{2}=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como y^{2}+ay+by+1. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=2 ab=1\times 1=1$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. A única parella así é a solución de sistema.

$$a=1 b=1$$

Reescribe y^{2}+2y+1 como \left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right).

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right)$$

Factorizar y en y^{2}+y.

$$y\left(y+1\right)+y+1$$

Factoriza o termo común y+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(y+1\right)\left(y+1\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(y+1\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve y+1=0.

$$y=-1$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Combina 4y^{2} e 2y^{2} para obter 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Resta 3 en ambos lados.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Resta 3 de 9 para obter 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$6y^{2}+12y+6=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 6, b por 12 e c por 6 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Eleva 12 ao cadrado.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Multiplica -4 por 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-24\times 6}}{2\times 6}$$

Multiplica -24 por 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 6}$$

Suma 144 a -144.

$$y=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 6}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$y=-\frac{12}{2\times 6}$$

Multiplica 2 por 6.

$$y=-\frac{12}{12}$$

Divide -12 entre 12.

$$y=-1$$

Pasos para completar o cadrado

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Combina 4y^{2} e 2y^{2} para obter 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Resta 9 en ambos lados.

$$12y+6y^{2}=3-9$$

Resta 9 de 3 para obter -6.

$$12y+6y^{2}=-6$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+12y=-6$$

Divide ambos lados entre 6.

$$\frac{6y^{2}+12y}{6}=-\frac{6}{6}$$

A división entre 6 desfai a multiplicación por 6.

$$y^{2}+\frac{12}{6}y=-\frac{6}{6}$$

Divide 12 entre 6.

$$y^{2}+2y=-\frac{6}{6}$$

Divide -6 entre 6.

$$y^{2}+2y=-1$$

Divide 2, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter 1. Despois, suma o cadrado de 1 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}+2y+1^{2}=-1+1^{2}$$

Eleva 1 ao cadrado.

$$y^{2}+2y+1=-1+1$$

Suma -1 a 1.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Factoriza y^{2}+2y+1. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$y+1=0 y+1=0$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$y=-1 y=-1$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$y=-1$$